応募書類、面接で「応募先企業を何と呼ぶか」ということに結構悩みますよね。
ということで、いろんな組織について一覧にしてみました。
ちなみに、タイトルの回答ですが、
病院に対する『貴院（きいん）』の話し言葉は、『御院（おんいん）』です。
なお、履歴書の職歴欄の「入社、退職」の組織別の書き方は『【履歴書】病院に『入社』は正しいのか？』の記事をご覧ください。
ハローワークについての動画解説
はじめてハローワークを利用する方のために動画を作成しました。
お時間がありましたら、ぜひご覧ください。
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基本的なルール
基本的に、相手が会社の場合、書き言葉（応募書類）が『貴社』、話し言葉（面接時）が『御社』です。
日本語的には、面接時にも『貴社』と言っても良いのですが、
汽車、記者、帰社と間違えるから『御社』というのが一般的です。
また、
ＡＡ株式会社（ＡＡ病院等なんでも）の場合、
面接時に『ＡＡ株式会社 様』というのもＯＫです。
『おんいん』等、言いづらい場合にはおすすめです。
以降の記事は一つ目の『』が応募書類で、二つ目の『』が面接時に使うものです。
株式会社、有限会社 『貴社（きしゃ）』『御社（おんしゃ）』
会社の場合、応募書類では『貴社（きしゃ）』、面接では『御社（おんしゃ）』
銀行、信用金庫、信用組合
銀行は『貴行（きこう）』、『御行（おんこう）』
信用金庫は『貴庫（きこ）』、『御庫（おんこ）』
信用組合は『貴組合（きくみあい）』、『御組合（おんくみあい）』
社団法人、財団法人『貴法人（きほうじん）』『御法人（おんほうじん）』
社団法人、財団法人等は、
『貴法人（きほうじん）』、『御法人（おんほうじん）』
『貴団体（きだんたい）』、『御団体（おんだんたい）』
財団法人は『貴財団（きざいだん）』、『御財団（おんざいだん）』でも可能です。
ＡＡ法人ＢＢ会 の場合は『貴会（きかい）』、『御会（おんかい）』
ＣＣ法人ＤＤ機構 の場合は『貴機構（ききこう）』、『御機構（おんきこう）』
ＥＥ協会の場合は、『貴協会（ききょうかい）』、『御協会（おんきょうかい）』
学校法人『貴校（きこう）』『御校（おんこう）』
学校法人は『貴校（きこう）』、」『御校（おんこう）』
ＡＡ学園なら『貴学園（きがくえん）』、『御学園（おんがくえん）』
幼稚園、保育園は『貴園（きえん）』、『御園（おんえん）』
会計事務所、法律事務所『貴事務所（きじむしょ）』『御事務所（おんじむしょ）』
会計・法律事務所等は、『貴事務所（きじむしょ）』、『御事務所（おんじむしょ）』
官公庁
官公庁は
『貴省（きしょう）』、『御省（おんしょう）』
『貴庁（きちょう）』、『御庁（おんちょう）』
『貴局（ききょく）』、『御局（おんきょく）』
『貴役所（きやくしょ）』、『御役所（おんやくしょ）』
『貴役場（きやくば）』、『御役場（おんやくば）』
病院、医院『貴院（きいん）』『御院（おんいん）』
病院は、
応募書類では『貴院（きいん）』面接では『御院（おんいん）』
冒頭でも言いましたが、面接時に『貴』をつかってもOKですので『貴院』と言っても日本語としては正しいです。
ですが、「貴社・御社」という言葉がメジャーすぎて、
「貴院に対して御院だろ」と思う人が多いため、
貴院と面接時に言うと、常識がないと判断する面接官もいるかもしれません。
面接時は、〇×△クリニックなら、『〇×△クリニック様』と言うのが一番言いやすいのでお勧めです。
まとめ
ということで、基本的には、
書き言葉は『貴（き）』
話し言葉は『御（おん）』
です。